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数学里面的这个类似欧拉公式的等式怎么证明

发布时间:2019-09-17

Euler公式即e^(ix) = cos(x)+isin(x).
于是e^(-ix) = cos(x)-isin(x).
相减得2isin(x) = e^(ix)-e^(-ix).
2n次方得(2i)^(2n)·(sin(x))^(2n) = (e^(ix)-e^(-ix))^(2n).
右端由二项式定理展开为:
∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(ikx)·(-1)^(2n-k)·e^(-i(2n-k)x)
= ∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k.
即(2i)^(2n)·(sin(x))^(2n) = ∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k ①.

然而, 当m为非零整数时, ∫{0,2π} e^(imx)dx = ∫{0,2π} cos(mx)+isin(mx)dx = 0.
m = 0时∫{0,2π} e^(imx)dx = 2π.
因此①式右端积分 = ∫{0,2π} ∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k dx
= 2π·C(2n,n)·(-1)^n (形如e^(imx), m非零的项积分为0).
而①式左端积分 = (2i)^(2n)·∫{0,2π} (sin(x))^(2n)dx = (-4)^n·∫{0,2π} (sin(x))^(2n)dx.
故∫{0,2π} (sin(x))^(2n)dx = 2π·C(2n,n)/4^n.

回复:

一、集合、简易逻辑(14课时,8个)
1.集合; 2.子集; 3.补集;
4.交集; 5.并集; 6.逻辑连结词;
7.四种命题; 8.充要条件.
二、函数(30课时,12个)
1.映射; 2.函数; 3.函数的单调性;
4.反函数; 5.互为反函数的函数图象间的关系; 6.指数概念的扩充;
7.有理指数幂的运算; 8.指数函数; 9.对数;
10.对数的运算性质; 11.对数函数. 12.函数的应用举例.
三、数列(12课时,5个)
1.数列; 2.等差数列及其通项公式; 3.等差数列前n项和公式;
4.等比数列及其通顶公式; 5.等比数列前n项和公式.
四、三角函数(46课时17个)
1.角的概念的推广; 2.弧度制; 3.任意角的三角函数;
4,单位圆中的三角函数线; 5.同角三角函数的基本关系式;
6.正弦、余弦的诱导公式’ 7.两角和与差的正弦、余弦、正切;
8.二倍角的正弦、余弦、正切; 9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;
10.周期函数; 11.函数的奇偶性; 12.函数 的图象;
13.正切函数的图象和性质; 14.已知三角函数值求角; 15.正弦定理;
16余弦定理; 17斜三角形解法举例.
五、平面向量(12课时,8个)
1.向量 2.向量的加法与减法 3.实数与向量的积;
4.平面向量的坐标表示; 5.线段的定比分点; 6.平面向量的数量积;
7.平面两点间的距离; 8.平移.
六、不等式(22课时,5个)
1.不等式; 2.不等式的基本性质; 3.不等式的证明;
4.不等式的解法; 5.含绝对值的不等式.
七、直线和圆的方程(22课时,12个)
1.直线的倾斜角和斜率; 2.直线方程的点斜式和两点式; 3.直线方程的一般式;
4.两条直线平行与垂直的条件; 5.两条直线的交角; 6.点到直线的距离;
7.用二元一次不等式表示平面区域; 8.简单线性规划问题. 9.曲线与方程的概念;
10.由已知条件列出曲线方程; 11.圆的标准方程和一般方程; 12.圆的参数方程.
八、圆锥曲线(18课时,7个)
1椭圆及其标准方程; 2.椭圆的简单几何性质; 3.椭圆的参数方程;
4.双曲线及其标准方程; 5.双曲线的简单几何性质; 6.抛物线及其标准方程;
7.抛物线的简单几何性质.
九、(B)直线、平面、简单何体(36课时,28个)
1.平面及基本性质; 2.平面图形直观图的画法; 3.平面直线;
4.直线和平面平行的判定与性质; 5,直线和平面垂直的判与性质;
6.三垂线定理及其逆定理; 7.两个平面的位置关系;
8.空间向量及其加法、减法与数乘; 9.空间向量的坐标表示;
10.空间向量的数量积; 11.直线的方向向量; 12.异面直线所成的角;
13.异面直线的公垂线; 14异面直线的距离; 15.直线和平面垂直的性质;
16.平面的法向量; 17.点到平面的距离; 18.直线和平面所成的角;
19.向量在平面内的射影; 20.平面与平面平行的性质; 21.平行平面间的距离;
22.二面角及其平面角; 23.两个平面垂直的判定和性质; 24.多面体;
25.棱柱; 26.棱锥; 27.正多面体; 28.球.
十、排列、组合、二项式定理(18课时,8个)
1.分类计数原理与分步计数原理. 2.排列; 3.排列数公式’
4.组合; 5.组合数公式; 6.组合数的两个性质;
7.二项式定理; 8.二项展开式的性质.
十一、概率(12课时,5个)
1.随机事件的概率; 2.等可能事件的概率; 3.互斥事件有一个发生的概率;
4.相互独立事件同时发生的概率; 5.独立重复试验.
选修Ⅱ(24个)
十二、概率与统计(14课时,6个)
1.离散型随机变量的分布列; 2.离散型随机变量的期望值和方差; 3.抽样方法;
4.总体分布的估计; 5.正态分布; 6.线性回归.
十三、极限(12课时,6个)
1.数学归纳法; 2.数学归纳法应用举例; 3.数列的极限;
4.函数的极限; 5.极限的四则运算; 6.函数的连续性.
十四、导数(18课时,8个)
1.导数的概念; 2.导数的几何意义; 3.几种常见函数的导数;
4.两个函数的和、差、积、商的导数; 5.复合函数的导数; 6.基本导数公式;
7.利用导数研究函数的单调性和极值; 8函数的最大值和最小值.
十五、复数(4课时,4个)
1.复数的概念; 2.复数的加法和减法; 3.复数的乘法和除法

答案补充
高中数学有130个知识点,从前一份试卷要考查90个知识点,覆盖率达70%左右,而且把这一项作为衡量试卷成功与否的标准之一.这一传统近年被打破,取而代之的是关注思维,突出能力,重视思想方法和思维能力的考查.
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答案补充
一试

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。

二试

1、平面几何

基本要求:掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求:面积和面积方法。

几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点,重心。三角形内到三边距离之积最大的点,重心。

几何不等式。

简单的等周问题。了解下述定理:

在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。

在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。

几何中的运动:反射、平移、旋转。

复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

答案补充
第二数学归纳法。

递归,一阶、二阶递归,特征方程法。

函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。

n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。

复数的指数形式,欧拉公式,棣莫佛定理,单位根,单位根的应用。

圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。

一元n次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。

3、立体几何

多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。

正多面体,欧拉定理。

体积证法。

截面,会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何

直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

回复:

本题将多次降到一次方程:
(sinX)^3=[(sinX)^3-cosxcosxsinx]+cosxcosxsinx
=-sinxcos2x+cosxcosxsinx
=-sinxcos2x+(sin2xcosx)/2
=(sin2xcosx-2sinxcos2x)/2
=(sinx-sinxcos2x)/2
=(sinx-sinxcos2x+sin2xcosx-sin2xcosx)/2
=(sinx+sin2xcosx-sin3x)/2
=(sinx+2sinxcosxcosx-sin3x)/2
=(sinx+2sinxcosxcosx-sinx+sinx-sin3x)/2
=(2sinx+sinxcos2x-sin3x)/2
=(2sinx+sinxcos2x-cosxsin2x+cosxsin2x-sin3x)/2
=(2sinx-cosxsin2x)/2
=(3sinx+sinx-2cosxsin2x)/4
=[3sinx+sin(sinxsinx+cosxcosx)-2cosxsin2x]/4
=(3sinx+sinxsinxsinx-3sinxcosxcosx)/4
=[3sinx+(sinx)^3-sinxcosxcosx-2sinxcosxcosx]/4
=(3sinx-sinxcos2x-2sinxcosxcosx)/4
=(3sinx-sinxcos2x-sin2xcosx)/4
=(3sinx-sin3x)/4
纯属于兴趣,这种题目要添加项且保证添加项合理且为零
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回复:

高中数学知识点梳理 一、教材分布 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 数学1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 数学2:立体几何初步、平面解析几何初步。 数学3:算法初步、统计、概率。 数学4:基本初等函数(三角函数)、...

回复:

是99999999999999999999999999999999999999999999999*9999999999999999999999999999999999999999999999

回复:

在任何一个规则球面地图上,用 R记区域个 数 ,V记顶点个数 ,E记边界个数 ,则 R+ V- E= 2,这就是欧拉定理 ,它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ,后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ,我们称其为欧拉定理 ,在国外也有人称其 为...

回复:

本题将多次降到一次方程: (sinX)^3=[(sinX)^3-cosxcosxsinx]+cosxcosxsinx =-sinxcos2x+cosxcosxsinx =-sinxcos2x+(sin2xcosx)/2 =(sin2xcosx-2sinxcos2x)/2 =(sinx-sinxcos2x)/2 =(sinx-sinxcos2x+sin2xcosx-sin2xcosx)/2 =(sinx+sin2xcosx-si...

回复:

Euler公式即e^(ix) = cos(x)+isin(x). 于是e^(-ix) = cos(x)-isin(x). 相减得2isin(x) = e^(ix)-e^(-ix). 2n次方得(2i)^(2n)·(sin(x))^(2n) = (e^(ix)-e^(-ix))^(2n). 右端由二项式定理展开为: ∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(ikx)·(-1)^(2n-k)·e^(-i...

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一、集合、简易逻辑(14课时,8个) 1.集合; 2.子集; 3.补集; 4.交集; 5.并集; 6.逻辑连结词; 7.四种命题; 8.充要条件. 二、函数(30课时,12个) 1.映射; 2.函数; 3.函数的单调性; 4.反函数; 5.互为反函数的函数图象间的关系; 6.指数概念的扩充; ...

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